Hizmette 10+ Yıl ve binlerce müşteri memnuniyeti... | %100 doğru kaynak | %100 memnuniyet | %100 mezuniyet | 0.332 350 23 47
0.541 350 23 42
İST202U-İSTATİSTİK-2
İST202U-İSTATİSTİK-2 DERSİNİN 1. ÜNİTE DERS ÖZETİ

1. ÜNİTE -  TAMSAYIM VE ÖRNEKLEME

Hakkında araştırma yapılacak birimler topluluğuna evren denir.

Planlanan bir istatistiksel araştırma için tanımlanan sonlu evrenin bütün birimleri üzerinden araştırmaya konu olan değişkenler itibarıyla veri derleniyorsa yapılan işleme tamsayım denir.

Tamsayım sonucu elde edilen veriler kullanılarak hesaplanan sayısal değerlere parametre denir.

Örnekleme – Örneklem

Tanımlanan evrenden onu ilgilenilen değişkenler bakımından temsil eden sınırlı sayıda birimin belirli yöntemler kullanılarak seçilmesi işlemine örnekleme, seçilen birimlerin oluşturduğu topluluğa örneklem denir.

ÖRNEKLEME YAPMAYI GEREKLİ KILAN NEDENLER:

Maliyet: Örnekleme bütçesi, örneklemeyi tamsayıma tercih etmede en önemli belirleyicidir. Örnekleme tamsayıma göre daha az maliyetle bilgi üretme imkânı sağlar.

Zaman: Bir araştırma sonunda ulaşılacak bilgiye duyulan ihtiyacın zaman sınırları,  araştırmanın tamsayımla mı yoksa örneklemeyle mi yapılacağına karar verirken değerlendirilecek diğer önemli bir etkendir. Örnekleme, tamsayıma göre daha kısa zamanda ve yeterli ayrıntıda bilgi elde etme olanağı verir.

Doğru veri elde etme: Her ne kadar tamsayım yapılınca kesin, doğru bilgiye ulaşılır denilse de tamsayımın yapılabilmesi için gerekli olan sayıda veri derleme aracı ve istenen özelliklere sahip, veri derleme hatası yapmayacak gözlemci ya da görüşmeci bulmak ya da yetiştirmek oldukça zor hatta olanaksızdır. Bu nedenlerle örnekleme uygulamaları tamsayıma göre daha doğru veri derleme ve daha doğru bilgi üretme imkânı verir.

İncelenecek birimlerin fiziksel zarara uğraması: Tanımlanan evrende yer alan birimler, veri derlemek ya da ölçüm yapmak amacıyla fiziksel zarara uğratılıyorsa örneklemeye başvurmak zorunludur.

Evreni oluşturan birimlerin değişkenliği: Evreni oluşturan birimler araştırmaya konu olan değişkenler bakımından heterojen olduğunda mümkün ise tamsayım yapmak, değil ise büyük hacimli örneklem seçmek gerekir.

ÖRNEKLEM İÇİN BİRİM SEÇME YÖNTEMLERİ

Örnekleme girecek birimlerin seçiminde kullanılan yöntemler keyfî seçim yöntemi ve rassal seçim yöntemi şeklinde sınıflandırılmaktadır.

Keyfî Seçim

Örneklem oluşturulurken tanımlanan evreni oluşturan birimler arasında fark gözetilir, yani bütün birimlere bilinen bir olasılıkla seçilme şansı verilmez ise bu türden birim seçimine keyfî seçim adı verilir. Bu seçim yönteminde araştırmacı, hangi birimlerin örnekleme seçileceğini bilerek ve isteyerek belirler.

Rassal Seçim

Sonlu Evrenlerde Rassal Örneklem Seçimi

Sonlu evrenlerde rassal birim seçim imkânı veren iki seçim uygulaması bulunmaktadır. Bunlar kura seçimi ve sistematik seçimdir.

Kura Seçimi

Tanımlanan evrenle ilgili oluşturulacak güncel çerçevedeki bütün birimlere birden N’e kadar numara verilir. Bu numaralar fişlere yazılır ve bir torbaya veya bir kaba atılır.

Fişler iyice karıştırıldıktan sonra n tane fişin çekilmesi işlemine başlanır. Çekilen fiş her çekilişten sonra torbaya iade edilir veya edilmez. Çekilen fiş torbaya iade ediliyorsa birim seçimine iadeli seçim, iade edilmiyorsa iadesiz seçim adı verilir.

Seçilen n sayıdaki birim örneklemi oluşturur.

Sistematik Seçim

Güncel çerçevedeki birimler birden N’ye kadar numaralandırılır.

Örneklem hacmi belirlenir.

k = N / n oranı hesaplanır. Bu oran “büyütme faktörü” olarak isimlendirilir.

1, 2,....., k adet sayı arasından rassal olarak bir sayı çekilir. Çekilen sayı a ile gösterilsin. a, örnekleme girecek birinci birimin sıra numarasını gösterir.

a’ıncı, a + k’ıncı,....., a + (n - 1)k’ıncı sıra nolu birimlerin seçilmesiyle n hacimli örneklem oluşturulur.

Olasılıklı örneklemenin üç önemli üstünlüğü vardır:

Örneklemden elde edilen verilerden hesaplanan istatistikler evren parametreleri hakkında genelleme yapmak üzere kullanılabilir.

Örneklem hatasının büyüklüğü hakkında bilgi elde edilebilir.

Keyfî seçimde söz konusu olabilecek yanlılık (sistematik hata) giderilmiş olur.

ÖRNEKLEME SÜRECİNİN AŞAMALARI

Evrenin Tanımlanması

Çerçevenin Belirlenmesi

Örnekleme Yönteminin Seçilmesi

Örneklem Hacminin Belirlenmesi

Örneklemenin Uygulanması

Evrenin Tanımlanması

Örnekleme süreci evrenin tanımlanmasıyla başlar ve bir araştırma sürecinde araştırmacının ilk yapacağı işlerden biridir.

Evren, araştırmacı tarafından belirlenen bir tanıma uyan ve hakkında bilgilerin üretileceği, çıkarımların yapılacağı birimlerden oluşan topluluktur.

Çerçevenin Belirlenmesi

Çerçeve sonlu bir evrenin bütün birimlerinin kayıtlı olduğu bir listedir, tablodur veya cetveldir. Nüfus kayıtları, seçmen kütükleri, tapu ve sicil kayıtları, ticaret ve sanayi odaları üye listeleri, ekonomik büyüklüklerine göre sanayi kuruluşlarının listesi, telefon rehberi, öğrenci kayıt listeleri, su, elektrik abonelik listeleri vb. Çerçeve olarak kullanılabilecek araçlardır.

Örnekleme Yönteminin Seçimi

Örneklemeye girecek birimlerin belirlenmesine imkan veren yöntemlere örnekleme yöntemleri denir. Bu yöntemler örneklem için birim seçiminde uygulanan usulün keyfî ya da rassal oluşuna göre iki sınıfa ayrılır. Birinci durumda olasılıklı olmayan örnekleme, ikinci durumdaysa olasılıklı örnekleme söz konusu olur.

Örneklem Hacminin Belirlenmesi

Örneklem hacmi, örnekleme girecek birimlerin sayısını gösterir ve “n” simgesiyle ifade edilir. Bu sayının ne olacağına ilişkin kesin yanıt vermek mümkün değildir. Ancak, bu sorunun yanıtlanabilmesi için aşağıda açıklanan faktörlere ilişkin yapılacak nitel değerlendirmelere ve nicel yöntemlere başvurulur

Nitel Değerlendirmede Esas Olan Faktörler

Evrenin homojenliği: Ele alınan evrenin ilgilenilen değişken bakımından homojen ya da heterojen olması örneklem hacminin belirlenmesine etki eder. Eğer evrenin bütün birimleri ilgilenilen değişken itibarıyla aynı değere sahipse, bir birimin incelenmesi amaca ulaşmak için yeterlidir.

Araştırmada verilecek kararın önemi: Önemli kararlar için olabildiğince çok veriye ve ayrıntılı bilgiye gereksinim vardır. Bu gibi durumlar büyük hacimli bir örneklem üzerinde araştırma yapmayı gerekli kılar. Ancak örneklem hacmi arttıkça maliyet ve gereksinim duyulan zaman ve nitelikli personel sayısı da artar.

Araştırmanın yapısı: Araştırmanın doğası da örneklem hacmi üzerinde etkilidir. Uygulamada genellikle nitel araştırmalarda küçük hacimli örneklemlerde nicel araştırmalarda ise örneğin betimsel araştırmalarda daha büyük hacimli örneklemlerle çalışılır. Ayrıca araştırmalarda değişken sayısı arttıkça örneklem hacminin artırılması bilginin niteliği açısından ihtiyaç olur.

Örneklem Hacminin Belirlenmesinde Nicel Yöntemler

Karşılanabilecek Maliyeti Esas Alan Yöntem:

Örneklem hacmi n, araştırma bütçesine bağlı olarak,

n = (Cc0)/Ct

C = Araştırma bütçesini,

c0= Araştırmanın sabit maliyetini,

Ct= Örnekleme birimi için değişken maliyeti gösterir.

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ

Olasılıklı Olmayan Örnekleme Yöntemleri

Kolayda Örnekleme

Yargısal Örnekleme

Kota Örneklemesi

Kartopu Örneklemesi

Olasılıklı Örnekleme Yöntemleri

Basit Rassal Örnekleme

Tabakalı Örnekleme

Sistematik Örnekleme

Tek ve Çok Amaçlı Küme Örneklemesi

Olasılıklı Olmayan Örnekleme Yöntemleri

Olasılıklı olmayan örnekleme, birim seçiminin keyfî olarak yapıldığı örneklemedir.

Örneklem için birim seçimi keyfîdir.

Örneklem hacmi keyfî olarak belirlenir.

Örneklemden hesaplanan istatistikler evren parametreleri hakkında genelleme amacıyla kullanılamaz.

Kolayda Örnekleme

Araştırma konusu ile ilgili ve kolayca ulaşılabilir olan birimlerden bir örneklemin oluşturulmasıdır. Araştırma konusu ile ilgili olan ve doğru yerde, doğru zamanda bulunan birimler arasından keyfî olarak birimler seçiliyorsa yapılan örneklemeye kolayda örnekleme denir. Kolayda örnekleme gönüllülük esasına göre katılan birimlerden oluşur.

Yargısal Örnekleme

Bu örnekleme de bir tür kolayda örneklemedir. Yargısal örnekleme, örneklemin araştırmacının ya da örneklemecinin kişisel arzu, düşünce ve deneyimlerine göre seçilmiş olduğu örneklemedir.

Evrenden temsili örneklem oluşturacağına inanılan kriterlere dayalı olarak birimlerin seçilmesi işlemine yargısal örnekleme denir.

Kota Örneklemesi

Örneklem için birim seçiminin keyfî olarak yapıldığı yöntemlerden biri de kota örneklemesidir.

Bu yöntemin başarıyla uygulanabilmesi için tanımlanan sonlu evrenle ilgili bir çerçevenin var olması, ilgili evrenin homojen veya heterojen özelliğe sahip olup olmadığının sorgulanabilmesi için evren hakkında öncül bilgilere sahip olunması, evrenin heterojen olduğuna karar verilmiş ise hangi kritere göre heterojen birimlerden oluşan bu evrenin homojen birimlerden oluşacak tabakalara ayırmada kullanılacak kriterin belirlenmesi ve tabaka hacimlerinin bilinmesi gerekir.

Kota örneklemesi sürecinde;

Evren hacmi N ve tabaka hacimleri Nh belirlenir.

Örneklem hacmi n keyfî olarak belirlenir.

Her tabakanın, evren hacmi içindeki oranı Nh / N belirlenir.

Her tabakada keyfî seçimle nh = (Nh / N). n sayıda birim seçilir ve bu seçilen birimler örneklemi oluşturur.

Kartopu Örneklemesi

Kartopu örneklemesi, özellikle bir çerçevenin mevcut olmaması ya da oluşturulması nın imkânsız olduğu durumlarda faydalı bir örneklemedir. Bu yöntemde örnekleme süreci tanımlanan evrende yer alan bir bireyin genellikle rassal olarak seçilmesiyle başlar.

Olasılıklı Örnekleme Yöntemleri

Olasılıklı örnekleme, ilgilenilen evrendeki her örnekleme birimine hesaplanabilir ve sıfırdan farklı bir olasılıkla seçilme imkanı veren örneklemedir.

Örneklem için birim seçiminde rassal seçimin uygulandığı yöntemlere olasılıklı örnekleme yöntemleri denir.

Basit Rassal Örnekleme

Sonlu Evrenlerde Basit Rassal Örnekleme

Örnekleme planlarında uygulanan en temel olasılıklı örnekleme basit rassal örneklemedir.

Basit rassal örnekleme hacmi N olan sonlu bir evrenden birbirinden farklı ve n hacimli oluşturulabilecek CN n sayıdaki olası örneklemlerin her birine incelenecek örneklem olması bakımından eşit şans tanıyan örnekleme yöntemidir.

Sonlu bir evrenden iadesiz seçimle n hacimli bir rassal örneklem oluşturmak için;

Güncel çerçeve temin edilir ya da hazırlanır.

Örneklem hacmi belirlenir.

Çerçevede yer alan n sayıdaki birime tanımlayıcı numara ya da işaret verilir.

Evrendeki her birime eşit seçilme şansı vermek suretiyle örnekleme girecek birinci birim rassal seçim araçları kullanılarak belirlenir.

Geriye kalan (N - 1) birimin her birine yine eşit şans vermek suretiyle ikinci birim seçilir. Bu birimin seçilmesi olasılığı 1 / (N-1) olur.

Bu birim seçim süreci n hacimli örneklem seçilinceye kadar tekrarlanır.

Tabakalı Örnekleme

Tanımlanan evrenin birimleri araştırmaya konu olan değişkenler bakımından heterojen ise önemli farklılıklar gösteriyorsa tabakalı örnekleme temsilî örneklem oluşturabilmek için tercih edilmelidir. Tabakalı örnekleme evren birimlerinin tabakalara ayrıldığı ve her tabakadan rassal seçimle örneklemin oluşturulduğu örneklemedir.

Tabakalı örnekleme evren birimlerinin tabakalara ayrıldığı ve her tabakadan rassal seçimle örneklemin oluşturulduğu örneklemedir.

Tabakalı örnekleme 4 aşamalı bir süreçtir.

Tabakalama kriterinin belirlenmesi.

Tabakaların oluşturulması.

Tabakalardan birimlerin seçilmesi.

Verilerin derlenmesi.

Sistematik Örnekleme

Örneklem için birim seçimi aşağıda ele alınan bir sistematiğe uygun olarak yapıldığı örnekleme sürecine sistematik örnekleme adı verilir. Bu yöntemin sınırlayıcıları ilgili evrene ilişkin bir çerçevenin var olup olmaması veya birimlerin doğal bir sıraya sahip olup olmamasıdır.

Bir sistematik örneklem oluşturmak için;

Evrendeki birimler 1’den N’ye kadar numaralandırılır.

• Araştırma için yeterli olacak örneklem hacmi n belirlenir.

• büyütme faktörü hesaplanır. Bu oran örnekleme aralığını gösterir.

• 1 ile k arasında bir tam sayı rassal olarak seçilir. Bu sayı a ile gösterilirse a örnekleme girecek birinci birimin sıra numarası olur.

• a’ıncı birimi k aralıklarıyla izleyen a + k’ıncı, a + 2k’ıncı,..., a + (n - 1) k’ıncı sıra nolu birimler örnekleme seçilir ve n hacimli sistematik örneklem oluşturulur.

• Oluşturulan örneklemden elde edilen veriler kullanılarak gerekli istatistikler hesaplanır.

Tek Aşamalı ve Çok Aşamalı Küme Örneklemesi

Bir kümeleme aşaması ile gözlem birimlerine ulaşılıyorsa tek aşamalı kümeleme; iki veya daha fazla kümeleme aşaması ile gözlem birimlerine ulaşılıyorsa çok aşamalı kümeleme adı verilir.

Tek aşamalı (küme) örneklemesi sürecinde; İlgilenilen evrendeki birimler genellikle coğrafi kritere göre kümelere ayrılır. Bu, birinci düzey kümelemedir. Kümeler doğal olarak bir mekanda var olan birimlerden oluşur. Küme sayısı “M” simgesiyle gösterilir. Üniversiteler, banka şubeleri, lojistik firmaları, kamu kurumları, ortaöğretim okulları birer kümedir. Örneğin ortaöğretim kurumlarını ele alalım. Bu okulların öğrencileri, sınışarı, öğretmenleri kümeleri oluşturur.

Kümeler arasından rassal seçimle “m” sayıda küme seçilir.

Seçilen kümelerdeki birimlerin toplamı tek aşamalı küme hacmini gösterir.

ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI

tanımlanan evrene ilişkin sayısal karakteristiklere parametre adı verilir ve parametre genel olarak q (theta) simgesiyle gösterilir örneklemlerin her biri için hesaplanacak istatistikler birbirinden farklı ve evren parametre değerlerine eşit (q=i ˆ ), büyük (q ı i ˆ ) veya küçük (q i i ˆ ) olabilir.

Tek Örneklem İstatistiğine İlişkin Örnekleme Dağılımı

Ortalamanın (X’nın) Örnekleme Dağılımı

Bir örneklem istatistiği olan örneklem aritmetik ortalaması (X) rassal bir değişkendir.

X rassal değişkeninin olasılık dağılımına, ortalamanın örnekleme dağılımı adı verilir.

X ’nın Dağılımının Özellikleri

X rassal değişkeninin örnekleme dağılımının özellikleri, bu dağılımın ortalaması μ ve standart sapması sx (standart hata) ile açıklanır. Standart hatanın karesi ise varyans olarak isimlendirilir ve sx simgesi ile gösterilir.

X’nın Dağılımının Ortalaması

Örneklem hacmi n arttıkça X nın örnekleme dağılımının ortalaması evren ortalamasına yaklaşır. Örneklem hacmi yeterli büyüklüğe ulaştığında X nın örnekleme dağılımı normal olur.

Evrenin dağılım şekli çarpık bir dağılım gösterse bile, örneklem hacmi arttıkça Xnın dağılımı normal dağılıma yaklaşır.

X’nın Dağılımının Standart Hatası

X nın standart sapması veya aynı anlama gelecek şekilde, X nın örnekleme dağılımının standart hatası sx simgesiyle gösterilir ve standart hata olarak da isimlendirilir.

sx nın özellikleri

Standart hata evren standart sapması s ya ve örneklem hacmi n’e bağlıdır. Bir başka ifadeyle evren değişkenliği s büyük ise herhangi bir örneklem hacmi için sx da büyük olur.

Örneklem hacmi arttıkça, örneklem istatistiğinden yararlanarak μ hakkında daha az hatalı, daha güvenilir bilgi üretmek mümkün olur.

Örneklem hacminin kare kökü ile sx arasında ters yönde ilişki vardır. Yani örneklem hacmini artırdıkça sx küçülür. Ancak örneklem hacmini artırarak sx yı düşürmeye çalışmak örnekleme başvurmayı gerekli kılan nedenlerden dolayı bazı güçlüklere yol açar. Örneğin n=100 birim iken X standart sapmasını yarıya indirebilmek için örneklem hacmi 4 kat artırılmalıdır.

Merkezî Limit Teoremi

Evrenin dağılım şekli ne olursa olsun, basit rassal örneklem hacmi büyüdükçe X nın örneklem dağılımı normal dağılıma yaklaşır. Bu dağılımın ortalaması μ (mu), varyansı s2/ n dir.

Örneklem Oranı p’nın Örnekleme Dağılımı

Örnekleme planlarında ele alınan evrenin araştırılmak istenen özelliklerinin bazıları iki sonuçlu olmaktadır. Örneğin bir fabrikada üretilen ürünler, hatalı ya da hatası z ürün, bir fakültedeki öğrenciler, başarılı ya da başarısız öğrenci olmak üzere iki grupta toplanabilir. Bu iki sonuçtan birinde örneğin A sonucunda başarılı öğrenci yer alan birimlerin oranıyla ilgilenilebilir. Bu durumda evren oranı evrenin birimleri içindeki ilgilenilen türden özelliğe sahip olanların oranı biçiminde tanımlanır.

Ortalama ve Varyans

Evren oranı ¹ hakkında araştırılmak istenin bilgi n hacimli tek bir örneklem için hesaplanan p istatistiğine değil, bir rassal değişken olan p istatistiğinin örnekleme dağılımının özelliklerinden yararlanılarak üretilir. Bu dağılımın özellikleri dağılımın aritmetik ortalaması ve varyansıyla belirlenebilir.

Dağılım fiekli ve Merkezî Limit Teoremi

Oranların örnekleme dağılımının şekli eğer E(p)=¹i 0,5 ise sağa çarpık, E(p)=¹ı0,5 ise sola çarpık ve E(p) = ¹ = 0,5 ise simetrik bir dağılım gösterir. Kolaylıkla görülebileceği gibi E(p) = ¹ nin değeri 0 ve 1 e yaklaşırken dağılımın çarpıklığı artar.

Merkezî limit teoremine göre bir örnekleme planında seçilen basit rassal örneklemin hacmi n büyürken örneklem oranı p’nin örnekleme dağılımı normal dağılıma yaklaşır.

İki Örneklem İstatistiği Arasındaki Farkın Örnekleme Dağılımı

Tanımlanan N1 ve N2 hacimli iki ayrı evrenden birbirinden bağımsız ve rassal sırasıyla n1 ve n2 hacimli farklı mümkün örneklemler seçilir, bu örneklemler için {i ˆ 1i} ve {i ˆ 2i} istatistiklerinden oluşan iki ayrı örneklem istatistiği dağılımı elde edilir ve bu iki dağılımın hesaplanan istatistik değerlerinin ikişerli kombinasyonları için farklar hesaplanırsa meydana gelen dağılıma iki örneklem istatistiği arasındaki farkın örnekleme dağılımı adı verilir.

(X1 X2)’nin Örnekleme Dağılımı

Ortalamaları μ1 ve μ2 olan iki ayrı evrenin ortalamaları arasındaki (μ1- μ2) farka ilişkin istatistiksel çıkarım yapabilmek için bu parametre hakkında bilgi üreten (X1- X2) istatistiğine ve bu istatistiğin örnekleme dağılımının özellikleriyle ilgili bilgilere gereksinim vardır.

(X1 - X2)’nin Örnekleme Dağılımının Özellikleri

Diğer örnekleme dağılımlarında olduğu gibi (X1 - X2) nın örnekleme dağılımının özellikleri de bu dağılımın ortalaması ve standart hatası veya varyansı ile açıklanabilir.

(X1 - X2)’nin Örnekleme Dağılımının Ortalaması

farklı evrenlerden birbirinden bağımsız ve rassal olarak seçilen n1 ve n2 hacimli rassal örneklemlerin X1 ve X2 ortalamaları arasındaki (X1 - X2) farkın beklenen değeri iki evren ortalaması arasındaki (μ1- μ2) farkına eşittir.

(X1 - X2)’nin Örnekleme Dağılımının Standart Hatası

(X1 - X2) nın standart hatası bu istatiastiğin örnekleme dağılımının değişkenliğini gösteren bir ölçüdür. Standart hata adı verilen bu ölçü tanımlanan evrenin standart sapmaları s1 ve s2 biliniyorsa bu çalışmada , bilinmiyorsa simgesiyle gösterilecektir.

s1 : Birinci evrenin standart sapması

s2 : İkinci evrenin standart sapması

s1 : Birinci evrenden seçilen örneklemin standart sapması

s2 : İkinci evrenden seçilen örneklemin standart sapması

n1 : Birinci evrenden seçilen örneklemin hacmi

n2 : İkinci evrenden seçilen örneklemin hacmi

(p1-p2)’nin Örnekleme Dağılımı

N1 ve N2 hacimli iki farklı evrenden rassal ve birbirinden bağımsız n1 ve n2 hacimli mümkün örneklemler için hesaplanan istatistiklerin sırasıyla {p1i} ve {p2i} örnekleme dağılımları oluşturulsun. Bu iki dağılımın hesaplanan istatistiklerinin ikişerli kombinasyonları arasındaki farkların teorik dağılımına (p1 - p2)’nin örnekleme dağılımı adı verilir.

 

DERS ÖZETİNİN TAMAMINI VE DAHA FAZLASINI ONLİNE SİPARİŞ VERMEK İÇİN AÖF ÇIKMIŞ SORULAR

AÖF Ücretsiz Ders Özeti Paylaşımları
1
ATA AÖF - KURTARMA ARAÇLARI EĞİTMİ 1. ÜNİTE DERS ÖZETİ
2
ATA AÖF - AFETLERDE RİSK VE KRİZ YÖNETİMİ 1. ÜNİTE DERS ÖZETİ
3
ATA AÖF -MESLEK HASTALIKLARI 1. ÜNİTE DERS ÖZETİ
4
ATA AÖF - BİREYLERLE SOSYAL HİZMET 1. ÜNİTE DERS ÖZETİ
5
ATA AÖF - ETİKETLEME VE İŞARETLEME 1. ÜNİTE DERS ÖZETİ
6
ATA AÖF - YÖNETİM BİLİŞİM SİSTEMLERİ 1. ÜNİTE DERS ÖZETİ
# TÜM ÖZETLERİ LİSTELE
Siz de hemen Ders Özeti sipariş verin, derslerinize kolayca çalışarak mezun olun.

Anadolu Üniversitesi Özet

Atatürk Üniversitesi Özet

Etiketler: ata aöf - ata aöf çıkmış sorular - ata aöf ders özeti - burhan kankaya - burhan kankaya ders özeti


Bu yazı 21.03.2017 tarihinden itibaren 1 kez okundu.




AÖF Çıkmış Sorular (Anadolu Ünv.) AÖF Çıkmış Sorular (Atatürk Ünv.) AÖF Ders Özetleri AÖF Deneme Sınavları AÖF Ders Kitapları Açık Lise Çıkmış Sorular
İletişim Bilgileri Firmamız Hakkında Sipariş ve Kargo Takibi Mesafeli Satış Sözleşmesi Garanti ve İade Şartları Gizlilik Sözleşmesi Ödeme ve Teslimat